インテグラルの意味｜数学/経営用語・記号・∫と∮の違い

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インテグラルの意味とは、下記引用文にもあるように「不可欠な〜」というような形容詞的な意味と、「全体」のような名詞的な意味が存在します。また、整数を意味するintegerの派生語とも言います。今回は数学、経営用語としてのインテグラルの意味について細かくピックアップしていったものをご紹介していきます。

(完全体をなすのに)不可欠な、必須の、完全な、整数の、積分の

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まずは、数学用語としてのインテグラルです。こちらは高校数学で学ぶ機会がある方もいますが、積分記号の１つとなります。長いsを変形させた記号で簡単に説明してしまうと積分をまとめたものを指すため、積分を計算する上でなくてはならない記号の１つとなります。また、それと対になるのが後に説明します「dx」です。

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そもそも積分とは、簡単に説明すると分解した関数を積み重ねて合計したものになります。例えば時間の経過と共に上下するもの。例えば、自転車の走る速度は一定ではなく、その速度は上下します。これらを分解し、合計を求めることを積分するといいます。もちろん計算式ではただ合計を求めるだけではなく、元になる関数も記載しなくてはなりません。

次に微分ですが、こちらは先の積分とは逆で変化する自転車の走行距離の割合を求めることを意味します。積分が変化する合計の和を求めるのであれば、微分は変化量を指してます。つまり微分するということは、先ほどの自転車の走行で例えると、距離と速度の関数から速度と加速度に展開する公式になります。 微分や積分のメリットはこういった細かい分析をするのに単純な「道のり・速さ・時間」の方程式だけではできない観点から見ることができる点にあります。インテグラルはその微分積分の方程式に欠かせない記号です。

積文微分については先に説明しましたが、その数式はどのように表すのかを説明します。まずアルファベットSを変化させたインテグラル「∫」。これを先頭に∫f(x)dx=F(x)となります。これは左辺が微分された導関数、右辺がこの左辺を積分によって復元され、原始関数になるという意味になります。 基本的にはこの「∫」に右に上下端の記号がつくことになりますが、国によっては右ではなく、上下に記載することもあります。国境を選ばないはずの数学ではありますが、このように文化により多少の誤差は生じるというわかりやすい一例です。

dxは、積分の数式においてインテグラルとペアと対になる存在です。このdxがないとそもそも計算式として成立しないくらい重要なものになります。 積分は、関数を重ねた合計の和と説明しましたが、それはインテグラルとdxが揃っていて初めて成立します。逆にdxがない計算式にすると無限にかけ算をすることになりその結果はどちらも同じく「∞」となります。つまりインテグラルとdxは互いに欠かせぬ存在を意味します。もちろん、dxだけでも全く意味を成しません。

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インテグラルが∫という記号を使うということはこれまでご紹介してきましたが、そもそもなぜこんな形なのか。ここからはその文字の起こりについて見ていきます。そもそものきっかけはドイツの数学者ゴットフリート・ライブニッツによる発明ですが、積分の表記だけでも多くの記号が存在しました。