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インテグラルの意味|数学/経営用語・記号・∫と∮の違い

言葉の意味

使用用途によって意味の異なるインテグラルとは何でしょうか?数学的な目で見れば積分に欠かせぬ存在であり、経営学的にみてみれば、日本独自のもの作り文化に行き着きます。しかしそんなインテグラルにも共通の意味が存在し、どれも生活に密接に関わるものです。

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インテグラルの意味

インテグラルの意味とは、下記引用文にもあるように「不可欠な〜」というような形容詞的な意味と、「全体」のような名詞的な意味が存在します。また、整数を意味するintegerの派生語とも言います。今回は数学、経営用語としてのインテグラルの意味について細かくピックアップしていったものをご紹介していきます。

(完全体をなすのに)不可欠な、必須の、完全な、整数の、積分の

数学用語

まずは、数学用語としてのインテグラルです。こちらは高校数学で学ぶ機会がある方もいますが、積分記号の1つとなります。長いsを変形させた記号で簡単に説明してしまうと積分をまとめたものを指すため、積分を計算する上でなくてはならない記号の1つとなります。また、それと対になるのが後に説明します「dx」です。

積分

そもそも積分とは、簡単に説明すると分解した関数を積み重ねて合計したものになります。例えば時間の経過と共に上下するもの。例えば、自転車の走る速度は一定ではなく、その速度は上下します。これらを分解し、合計を求めることを積分するといいます。もちろん計算式ではただ合計を求めるだけではなく、元になる関数も記載しなくてはなりません。

微分

次に微分ですが、こちらは先の積分とは逆で変化する自転車の走行距離の割合を求めることを意味します。積分が変化する合計の和を求めるのであれば、微分は変化量を指してます。つまり微分するということは、先ほどの自転車の走行で例えると、距離と速度の関数から速度と加速度に展開する公式になります。 微分や積分のメリットはこういった細かい分析をするのに単純な「道のり・速さ・時間」の方程式だけではできない観点から見ることができる点にあります。インテグラルはその微分積分の方程式に欠かせない記号です。

数式

積文微分については先に説明しましたが、その数式はどのように表すのかを説明します。まずアルファベットSを変化させたインテグラル「∫」。これを先頭に∫f(x)dx=F(x)となります。これは左辺が微分された導関数、右辺がこの左辺を積分によって復元され、原始関数になるという意味になります。 基本的にはこの「∫」に右に上下端の記号がつくことになりますが、国によっては右ではなく、上下に記載することもあります。国境を選ばないはずの数学ではありますが、このように文化により多少の誤差は生じるというわかりやすい一例です。

dx

dxは、積分の数式においてインテグラルとペアと対になる存在です。このdxがないとそもそも計算式として成立しないくらい重要なものになります。 積分は、関数を重ねた合計の和と説明しましたが、それはインテグラルとdxが揃っていて初めて成立します。逆にdxがない計算式にすると無限にかけ算をすることになりその結果はどちらも同じく「∞」となります。つまりインテグラルとdxは互いに欠かせぬ存在を意味します。もちろん、dxだけでも全く意味を成しません。

インテグラルの記号

インテグラルが∫という記号を使うということはこれまでご紹介してきましたが、そもそもなぜこんな形なのか。ここからはその文字の起こりについて見ていきます。そもそものきっかけはドイツの数学者ゴットフリート・ライブニッツによる発明ですが、積分の表記だけでも多くの記号が存在しました。

積分記号

先ほど説明したように合計を示すのがインテグラルです。このインテグラルを先頭に入れることで「これが和」であるという証明となります。さらに、積分を英訳するとintegral(インテグラル) となります。

ラテン語のエッシュに由来するこの文字「ʃ」は、よく見れば上下の形が異なるものの一見すると見分けがつかなくなるので注意が必要です。

インテグラル記号の由来

ここまで説明してきたようにインテグラルはあらゆるシーンで活用されております。それではそのインテグラルとは一体どこからきたのか。ここからは少し、記号ではなく言語として由来を辿っていきます。

総和を表すSummaの頭文字S

上記で説明したようにインテグラルのそもそもの由来は、ラテン語の「Summa」にあります。これは日本語で総和を意味します。「Summa」の頭文字Sを変形したのがインテグラルです。S2つで、∫∫(二重積分)の意味にもなります。また、間違えやすいのが、これの形に非常に似ている無声後部歯茎摩擦音です。

ラテン語

数学記号と聞くと大抵はラテン語ではなく、ギリシャ文字が使われています。代表的なのはα、βなどです。これは数字だけの計算式では桁数が多すぎるためです。また、πは円周率であるという共通認識を国を問わず持てるメリットもあります。 ではなぜインテグラルの∮はラテン語に起因するのか。これは19世紀の西洋の学者の必須条件の1つがラテン語にある点にあります。インテグラル自体そもそもの起源が明確ではありませんが、ラテン語に精通した学者同士が理解するのにギリシャ語以外でラテン語を選ぶのも頷けます。

ギリシャ文字ではΣに相当

さて、インテグラルがラテン語で総和を意味することは述べましたが、ギリシャ文字ではΣに相当します。Σ=シグマとされていますが、こちらの本来の呼び名はSun(サン)。インテグラルの由来もSunma。どちらも頭文字にSがつきます。 総和は英語でsumと読み、数学的な役割としてもΣは、整列の総和を意味し、インテグラルはこれまでも説明したように面積の総和を意味します。つまりΣとインテグラルは非常に近い存在ということになります。

「∫」と「∮」の違い

インテグラル=∫として紹介してきましたが、このSに○がついた∮という記号もあります。これは通常の積分記号とは違い、ある点から積分して戻ることを意味します。閉路積分記号、または経路積分記号とも呼びます。読み方は同じくインテグラルで問題ありません。

経営用語のインテグラルの意味

インテグラルは、経営用語としても活用されております。それはもの作りにおける設計段階で、部品と完成品がそれぞれ1つだけでは意味をなさず、微妙な摺り合わせで完成する物をインテグラル型とそう呼びます。

戦略コンセプトとしての意味

自動車やオートバイ、精密機器など日本が得意とする独自の戦略コンセプトともいえるのがインテグラル型です。日本は、トヨタの自動車など部品が約3万にも及ぶ製品を年間数千万もの台数制作しております。1人ではできないが、人と人、そして機械による協力作業。組織力の高さが求められるのがインテグラル型の特徴の1つです。

インテグラル型vsモジュラー型

インテグラル型の特徴は先に記述したように、メリットとして高性能かつその複雑な構造から模倣が困難であるという点です。その反面、コストがかかりやすいのが難点です。対して、モジュラー型はというと、既存の製品、部品を組み合わせて、新しい製品を生み出すことを意味します。 アメリカの企業が得意とするもので、部品の相互調整の手間を最小化するというメリットもありますが、原因不明の不具合も起きてしまう危険性もあります。 どちらが適切かは企業、業種により異なるもので一概にどちらが1番かは決定しかねる問題です。

ゴール社製のインテグラル錠とはどんな製品か

ゴール社は、業界2位の鍵メーカーで、主に住宅用に使用されています。そのゴール社のインテグラル錠は、ドアノブの錠のことで主に室内やトイレで活用されている、防犯性・耐久性に優れた製品です。

インテグラルの持つ「和」という意味

これまでご紹介してきた例をみましたように、インテグラルという言葉にはさまざまな意味が存在します。意味も異なれば、由来も異なり、用途も違う。ですが、大きく「和」という意味では、共通することもあります。 まず、数学的意味での和、こちらはそのままの意味で、積分でいう所の総和です。次に経営用語としてのインテグラルは、部品と完成品が1つとしては意味を成さず合わせて作り上げるという足し算の和です。そして、最後にゴール社のインテグラル錠。こちらは鍵と対で効果を発揮する足し算の和です。

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